高中数学2021届专题复习——推理与证明训练题【含详解】

在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A．甲、乙、丙                                              B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲                                              D．甲、丙、乙

甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩                            B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩                      D．乙、丁可以知道自己的成绩

某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是                                      (     )

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（    ）

A．                                                     B．

C．             D．

我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为(   )

A．4072                     B．2026                     C．4096                     D．2048

甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（   ）

A．甲                         B．乙                          C．丙                         D．丁

观察下列各式：a+b=1.a²+b²=3，a³+b³=4 ，a⁴+b⁴=7,a⁵+b⁵=11,…，则a¹⁰+b¹⁰=（  ）

A．28                         B．76                          C．123                        D．199

甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（   ）

A．丙被录用了           B．乙被录用了            C．甲被录用了           D．无法确定谁被录用了

一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(    )

A．乙                         B．甲                          C．丁                         D．丙

设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（  ）

（1）若，则；   （2）若，则；

（3）若，则；   （4）若，则；

（5）若，则.

A．（1）（2）（3）                                          B．（1）（2）（5）

C．（1）（3）（4）                                           D．（1）（3）（5）

按数列的排列规律猜想数列的第2017项是（    ）

A．                B．                   C．                   D．

用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（   ）

A．假设、、都是偶数

B．假设、、都不是偶数

C．假设、、至多有一个偶数

D．假设、、至多有两个偶数

已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（    ）

A．                   B．                   C．                   D．

设，，则三个数（     ）

A．都小于4                                                  B．至少有一个不大于4

C．都大于4                                                   D．至少有一个不小于4

设、、，，，，则、、三数（    ）

A．都小于                                                  B．至少有一个不大于

C．都大于                                                  D．至少有一个不小于

在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（   ）

A．丙、丁                  B．乙、丙                   C．甲、乙                  D．甲、丁

已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（　　）

A．                       B．                        C．                        D．

某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：

小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；

小王说：“丁团队获得一等奖”；

小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；

小赵说：“甲团队获得一等奖”．

若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（　　）

A．甲                         B．乙                          C．丙                         D．丁

我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（    ）

A．           B．           C．         D．

某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（    ）

A．甲                         B．乙                          C．丙                         D．丁

在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2 018∈3；

②－2∈2；

③Z＝0∪1∪2∪3∪4；

④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈0”．

其中正确结论的个数为(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ）

A．   B． C．       D．

设，令，，若，则数列的前项和为，当时，的最小整数值为（　　）

A．2017                      B．2018                      C．2019                      D．2020

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（   ）

A．                                                         B．

C．                                                        D．

某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得

A．时该命题不成立                              B．时该命题成立

C．时该命题不成立                              D．时该命题成立

《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（  ）

A．甲付的税钱最多                                       B．乙、丙两人付的税钱超过甲

C．乙应出的税钱约为                               D．丙付的税钱最少

数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:

甲:在(-∞,0)上函数单调递减;        乙:在0,+∞上函数单调递增;

丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称； 丁: f(0)不是函数的最小值．

老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是(    )

A．甲                         B．乙                          C．丙                         D．丁

已知，不等式，，，…，可推广为 ，则的值为(　　)

A．                        B．                        C．                        D．

请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置

A．（45,44）                                                B．（45,43）

C．（45,42）                                                 D．该数不会出现

有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（   ）

A．甲                         B．乙                          C．丙                         D．丁

已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（   ）

A．2488                      B．2495                      C．2498                      D．2500

沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是(  )

A．甲                                                            B．乙

C．丙                                                            D．丁

用反证法证明命题：“若，则函数至少有一个零点”时，要做的假设是（     ）

A．函数没有零点

B．函数至多有一个零点

C．函数至多有两个零点

D．函数恰好有一个零点

甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（   ）

A．跑步比赛               B．跳远比赛               C．铅球比赛               D．无法判断

正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x²＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x²＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确               B．大前提不正确        C．小前提不正确        D．全不正确

公安人员审问了一起盗窃案，查明了以下事实：①罪犯就是甲、乙、丙三人中的一人或一伙；②不伙同甲，丙决不会作案；③罪犯是带着赃物开着汽车逃跑的，但乙不会开汽车．那么一定参与盗窃的是(  )

A．甲                         B．乙                          C．丙                         D．不确定

幻方，是中国古代一种填数游戏．阶幻方是指将连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图），即现在的如图．若某3阶幻方正中间的数是2018，则该幻方中的最小数为（   ）

A．2013                      B．2014                      C．2015                      D．2016

已知数列满足，则（    ）

A．当时，则     B．当时，则

C．当时，则    D．当时，则

西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（   ）

A．今天是周四           B．今天是周六            C．车周三限行       D．车周五限行

祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)

利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x-O-y坐标系中，设抛物线C的方程为y=1－x² (－1x1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为(     ).

A．                         B．                         C．                       D．

已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：

①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.

其中正确的序号是（    ）

A．①③                      B．①④                      C．①③④                  D．②③④

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（   ）

A．3965                      B．3966                      C．3968                      D．3989

一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（    ）

A．若，则乙有必赢的策略                   B．若，则甲有必赢的策略

C．若，则甲有必赢的策略                   D．若，则乙有必赢的策略

如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（    ）

A．                                                    B．

C．                                                     D．

某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当    时命题也成立．现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得

A．当n=7时该命题不成立                             B．当n=7时该命题成立

C．当n=9时该命题不成立                             D．当n=9时该命题成立

设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为.将此结论类比到空间四面体：设四面体的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（    ）

A．                                     B．

C．                                     D．

用数学归纳法证明：（n∈N^*）时第一步需要证明（  ）

A．                                            B．

C．                           D．

甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（    ）

A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民

B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人

C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民

D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人

长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次

邓清：三喜第二，建业第三；

武琳：梅红第二，邓清第四；

三喜：邓清第一，武琳第五；

建业：梅红第三，武琳第四；

梅红：建业第二，三喜第五

张老师说：每人的两句话都是一真一假

已知张老师的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为（  ）

A．邓清、武琳、三喜、建业、梅红    B．邓清、梅红、建业、武琳、三喜

C．三喜、邓清、武琳、梅红、建业    D．梅红、邓清、建业、武琳、三喜

设数列{a_n}满足a₁=3，．

（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

已知数列满足：，

证明：当时，

（I）；

（II）；

（III）.

（1）证明：；

（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；

（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？

已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；

（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．

设，，且.

证明：(1) ；

(2) 与不可能同时成立．

 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(1)；

(2).

已知数列满足，且．

Ⅰ使用数学归纳法证明：；

Ⅱ证明：；

Ⅲ设数列的前n项和为，证明：．

设函数，.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)当时，函数恰有两个零点，证明：

设和是两个等差数列，记，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

已知函数.

（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；

（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，两点处的切线斜率分别为，，求证：+.

已知数列，，其中为等差数列，且满足，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求证：．

已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；

（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

已知无穷数列的首项，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ） 记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

已知数列满足…．

（1）求，，的值；

（2）猜想数列的通项公式，并证明．

在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求数列与的通项公式；

（Ⅲ）设，证明

甲题型：给出如图数阵表格形式，表格内是按某种规律排列成的有限个正整数.

（1）记第一行的自左至右构成数列，是的前项和，试求；

（2）记为第列第行交点的数字，观察数阵请写出表达式，若，试求出的值.

在数列中，，.

（1）求，，；

（2）猜想数列的通项公式，并证明你的结论.

已知数列的前项和满足，数列满足．

Ⅰ求数列和数列的通项公式；

Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；

Ⅲ数列中是否存在，且 使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（1）已知，都是正数，并且，求证：；

（2）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立.

设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．

（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；

（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；

（3）若数列为“数列”，，设，证明：．

已知集合是集合的一个含有个元素的子集.

（Ⅰ）当时,

设

（i）写出方程的解；

（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.

（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.

已知数列，，且对任意n恒成立．

（1）求证：(n)；

（2）求证：(n)．

选用恰当的证明方法，证明下列不等式.

（1）证明：求证；

（2）设，，都是正数，求证：.

已知函数，．

（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：，其中．

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°

（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°

（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°

（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin²（-18°）cos²48°

（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin²（-25°）cos²55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

已知数列满足，，．

（1）用数学归纳法证明：；

（2）令，证明：．

完成下列证明：

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求证：.

已知函数，设为的导数，

（1）求的值；

（2）证明：对任意，等式都成立.

有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；

乙说：我没去过城市.

丙说：我们三个去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为__________

《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；，，分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则.若在中，，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．

甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．

用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么__________．

有一个数阵排列如下：

1    2    3    4    5    6    7    8......

2    4    6    8    10    12    14...... 

4    8    12    16    20......   

8    16    24    32......      

16    32    48    64......      

32    64    96......          

64  .......          

则第10行从左至右第10个数字为____________.

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则___ .

学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：

甲说：“作品获得一等奖”；           乙说：“作品获得一等奖”；

丙说：“两项作品未获得一等奖”；  丁说：“或作品获得一等奖”.

评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是_______.

设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和=___________．

有下列说法

①互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

②演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”

③残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

④若，则事件与互斥且对立

⑤甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为．

其中正确的说法是______（写出全部正确说法的序号）．

设函数，观察：

    ，    ，    ，

    ，……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当且时，= ________.

在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.

甲说：“礼物不在我这”；

乙说：“礼物在我这”；

丙说：“礼物不在乙处”.

如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.

在中，若，，，斜边上的高为，则有结论，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两个互相垂直且长度分别为，，，三棱锥的直角顶点到底面的高为，则有_____．

已知三个月球探测器，，共发回三张月球照片，，，每个探测器仅发回一张照片．甲说：照片是发回的；乙说：发回的照片不是就是；丙说：照片不是发回的．若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片是探测器_____发回的．

历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．

长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．

数列前项和为，若，则__________．

已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．

《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________．

已知函数，由是奇函数，可得函数的图象关于点对称，类比这一结论，可得函数的图象关于点___________对称.

将正奇数按如图所示的规律排列：

1

3   5   7

9   11   13   15   17

19  21   23   25   27   29   31

………………

则2019在第_____行，从左向右第______个数

“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______.