题目

已知集合是集合的一个含有个元素的子集. （Ⅰ）当时, 设 （i）写出方程的解； （ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值. （Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解. 答案：（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有:；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次,出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记, ,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论. 假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,. 试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有: （）以下规定两数的差均为正,则: 列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:; 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4; 中间相隔二数的两数差:; 中间相隔三数的两数差:; 中间相隔四数的两数差:; 中间相隔五数的两数差:; 中间隔一数的两数差:. 这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次, 所以的可能取值有. （Ⅱ）证明:不妨设 记, ,共个差数. 假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而      又 这与矛盾,所以结论成立.

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