题目

已知各项均为正数的两个数列和满足：，， （1）设，，求证：数列是等差数列； （2）设，，且是等比数列，求和的值． 答案：（1）见解析 （2） 【解析】 （1）根据题设和，求出，从而证明而得证． （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比． 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列．最后用反证法求出 解：（1）∵，∴． ∴． ∴． ∴数列是以1 为公差的等差数列． （2）∵，∴． ∴．（﹡） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾． 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾． ∴综上所述，．∴，∴． 又∵，∴是公比是的等比数列． 若，则，于是． 又由即，得． ∴中至少有两项相同，与矛盾．∴． ∴． ∴ 【考点定位】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用，指数幂和根式的互化，数列通项公式的求解，注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题，从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点、重点问题，在训练时，要引起足够的重视．

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