题目

已知无穷数列的首项，. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ） 记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，. 答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】 试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证， （Ⅱ）由已知，即，可得数列为递增数列． 又 ，易知为递减数列， 则也为递减数列，故当时，     所以当时，   当时，，成立； 当时，利用裂项求和法即可得证 试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立； ②假设当 时不等式成立，即， 那么当时，  ，所以， 即时不等式也成立. 综合①②可知，对任意成立. （Ⅱ），即，所以数列为递增数列． 又 ，易知为递减数列， 所以也为递减数列， 所以当时，     所以当时，   当时，，成立； 当时，     综上，对任意正整数，

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