题目

在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求数列与的通项公式； （Ⅲ）设，证明 答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析 【分析】 （Ⅰ）根据得，解得，根据为与的等比中项，得，解得的值；（Ⅱ）根据和项与通项关系得通项递推关系，再根据叠乘法得数列的通项公式，根据等比条件可得，再用数学归纳法得的通项公式；（Ⅲ）根据符号变化规律，分类求和，再比较大小证明不等式. 【详解】 （Ⅰ）因为，所以， 因为为与的等比中项， 所以 （Ⅱ） 因此 所以 因为，所以， 因为为与的等比中项， 所以 下面用数学归纳法证明 （1）当时，，结论成立， （2）假设当时，结论成立，即， 当时，结论成立， 综合（1）（2）可得 （Ⅲ）因为，， 所以当时 当时 当时， 当时， ， 当时， 综上. 【点睛】 本题考查由和项与通项关系求通项、利用数学归纳法求通项以及利用分组法求和，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.

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