题目

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由题意知， 所以． 即． 又因为， 所以a2=4，b2=3． 故椭圆C的方程为． （Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）． 由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．① 设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）． 直线AE的方程为． 令y=0，得． 将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入， 整理，得．② 由①得，代入② 整理，得x=1． 所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）． （Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上． 由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0． 易知△＞0． 所以，，． 则=． 因为m2≥0，所以． 所以． 当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1． 解得，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）． 此时． 所以的取值范围是．

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