题目

（1）证明：； （2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，； （3）利用（2）的结论判断是否为有理数？ 答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）不是 【分析】 （1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案. 【详解】 （1） 所以原式得证. （2）为奇数时， 时，，其中，成立 时， ，其中，成立 时， ，其中，成立， 则当时， 所以得到 因为均为整数，所以也均为整数， 故原式成立； 为偶数时， 时，，其中， 时， ， 其中，成立， 时， ， 其中，成立， 则当时， 所以得到 其中， 因为均为整数，所以也均为整数， 故原式成立； 综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，； （3）由（2）可得 其中均为有理数， 因为为无理数，所以均为无理数， 故为无理数， 所以不是有理数. 【点睛】 本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.

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