题目

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 答案：见解析 【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想 【解析】 试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明． 试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=， 故这个常数为． （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式 sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）= 证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α= 考点：三角恒等变换；归纳推理．

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