题目

已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）. 答案：（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. 【分析】 （I）用数学归纳法可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得. 【详解】 （Ⅰ）用数学归纳法证明：． 当时，． 假设时，，那么时，若， 则，矛盾，故． 因此，所以，因此． （Ⅱ）由得， ． 记函数， ， 函数在上单调递增，所以， 因此，故． （Ⅲ）因为，所以， 由，得， 所以，故． 综上，． 【名师点睛】 本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．

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