题目

已知数列，，且对任意n恒成立． （1）求证：(n)； （2）求证：(n)． 答案：（1）见解析（2）见解析 【分析】 （1）利用数学归纳法直接证明，假设当时，成立，则当时，，将代入即可证得：当时，成立，问题得证． （2）利用数学归纳法证明，先证明时，成立，假设当时， 成立，证明：当时，成立， 因为，可将证明问题转化成：证明，转化成证明，再转化成证明（）成立．构造函数，利用导数即可判函数在上递增，结合，即可证得：当时，成立，即可证得：当，成立，问题得证． 【详解】 （1）①当时， 满足成立. ②假设当时，结论成立.即：成立 下证：当时，成立． 因为 即：当时，成立 由①、②可知，(n)成立． （2）（ⅰ）当时，成立， 当时，成立， （ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立 下证：当时，成立. 因为 要证， 只需证 只需证：， 只需证： 即证：（） 记 当时， 所以在上递增， 又 所以，当时，恒成立． 即：当时，成立． 即：当时，恒成立. 所以当，恒成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证. 【点睛】 本题主要考查了利用数学归纳法证明等式及证明不等式，考查了构造思想及转化思想，还考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查计算能力及化归能力，属于难题．

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