题目

（10分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，. （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论. 答案：解析：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),B1(1,1,1),  D1(0,0,2).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则=，解得.故当时，直线AP与平面所成角为60º.    …………………………5分（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则.依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于即Q为的中点时，满足题设的要求.                 ………………………10分

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