题目

已知数列满足，，． （1）用数学归纳法证明：； （2）令，证明：． 答案：(1)详见解析(2)详见解析 【分析】 （1）利用数学归纳法证明即可； （2）由可得即，两边取对数可知构成以2为公比的等比数列，可得，借助二项式定理进行放缩即可得到结果. 【详解】 （1）证明：当时，，结论显然成立； 假设当时，， 则当时，， 综上，. （2）由（1）知，，所以. 因为， 所以， 即， 于是， 所以， 故构成以2为公比的等比数列，其首项为. 于是，从而， 所以，即，于是， 因为当时，， 当时，， 所以对，有，所以，所以， 从而. 【点睛】 本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查放缩法、累加法，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．

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