题目

已知数列满足，且． Ⅰ使用数学归纳法证明：； Ⅱ证明：； Ⅲ设数列的前n项和为，证明：． 答案：（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析. 【解析】 Ⅰ利用数学归纳法，分别讨论当时和当时的情况； Ⅱ，由Ⅰ知，故； Ⅲ因为，所以，由可得，进而可表示出，利用裂项相消法即可求出，从而证得． 【详解】 解：Ⅰ当时，，故当时命题成立； 假设时命题成立，即， 当时，注意在单调递增， 所以， 故，故当时命题成立． 因此对任意的，有； Ⅱ由， 由Ⅰ知， 故． Ⅲ因为，所以 因为， 所以， 故有， ． 综上所述，． 【点睛】 本题考查了数学归纳法的运用，考查了数列求和的方法，属于中档题．

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