题目

已知函数，． （Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围； （Ⅱ）求证：，其中． 答案：（Ⅰ）  （Ⅱ）见证明 【分析】 （Ⅰ）先对函数求导，再由分类讨论的思想，分别讨论，和三种情况，即可得出结果； （Ⅱ）令可得，由（Ⅰ）可知的极大值，再由时，，即可证明结论成立；也可用数学归纳法证明. 【详解】 解：（Ⅰ）由于， 则①当时，， 即当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在处取得极大值， 则，解得：； ②当时，恒成立，无极值，不合题意舍去； ③当时，， 即当时，，单调递减； 当时， ，单调递增； 故在处取得极小值，不合题意舍去； 因此当时，在上存在极大值点； （Ⅱ）法一：令，， 由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的， 则，即，当且仅当时取“=”， 故当时，， 因此． 法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立． （1）当时，左边，右边， 左边右边，结论成立； （2）假设当时，结论成立，即， 当时，左边 ， 而 ， 令，， 由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的， 则，即，当且仅当时取“=”，  则对恒成立，即 成立 故当时，结论成立， 因此，综合（1）（2）得，对恒成立 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数的单调性和极值等，属于常考题型.

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