题目

设函数，. (Ⅰ)讨论函数的单调性； (Ⅱ)当时，函数恰有两个零点，证明： 答案：(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析. 【解析】 分析：（1）对函数求导，令， ，分，判断出单调性；（2）采用综合分析法证明， 由已知条件求出  ，要证明，即证，即证 ，令，通过证明，得出结论。 详解： (Ⅰ). ∵，∴由，得，即. 若，当变化时，，的变化情况如下表 单调递减 极小值 单调递增 若，当变化时，，的变化情况如下表： + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (Ⅱ)∵当时，函数恰有两个零点， ， 则，即. 两式相减，得 ∵，∴，∴，∴. ∴要证，即证，即证 即证 令 ，则即证. 设，即证在恒成立. . ∵在恒成立.∴在单调递增. ∵在是连续函数， ∴当时， ∴当时，有. 点睛：本题主要考查导数在求函数的单调性上的应用，考查了分类讨论思想，综合分析法证明不等式，属于难题。

查看本题答案和解析