题目

已知函数. （1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围； （2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，两点处的切线斜率分别为，，求证：+. 答案：（1）； （2）见解析. 【分析】 （1）由题意，求得函数的导数，设，分离参数转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性，得到函数的最值，即可得到实数的取值范围； （2）由，得，，不妨设，利用导数求得两点的斜率，得到+ ，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可作出证明. 【详解】 （1）  ，∴， 设， 函数在上是增函数，∴ 在上恒成立，即在上恒成立， 设，则， ，∴，∴在上是增函数， ∴，由在上恒成立，得， ， ∴，即的取值范围是. （2） ，由，得，，不妨设.  ，，， + ， 设，则，时，，时，，所以为的极大值点，所以的极大值即最大值为，即， ∵且，∴且， ∴，∴+  . 【点睛】 本题主要考查了导数的综合应用，以及利用综合法的证明不等关系式，其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时，通常要构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与最值，从而求出参数的取值范围．同时利用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．

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