题目

已知数列，，其中为等差数列，且满足，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求证：． 答案：（1）；；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由已知易得，将已知递推关系，利用累加法得到； （2）法一：利用指数的运算法则化简，并裂项得到，相加消项求和后，利用不等式的基本性质即可证得；法二：验证时结论成立，时，利用数学归纳法证明即可. 【详解】 解（1）当，时，， 已知，，解得，公差，. 因此， ， 累加得; （2）法一： , . 法二：因为时，，成立，时，成立. 下面用数学归纳法证明时不等式成立. （1）当时，成立. （2）假设时，成立, 那么时，. 要证成立, 只要证成立, 只要证, 只要证，显然成立, 所以，当时，不等式成立. 根据（1）（2）不等式对任意，成立. 所以对任意，不等式成立. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，数列递推关系的变形和累加法求数列的通项公式，关于数列的和的不等式的证明问题，可以利用指数运算进行裂项求和问题后不等式的基本性质证明，也可使用数学归纳法郑明.

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