题目

已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小； （Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明； （Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：． 答案：（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为．；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析． 【解析】 （Ⅰ）的定义域为，． 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减． 故的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，，即． 令，得，即． ① （Ⅱ）；； ． 由此推测：  ② 下面用数学归纳法证明②． （1）当时，左边右边，②成立． （2）假设当时，②成立，即． 当时，， 由归纳假设可得． 所以当时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立． （Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 ． 即． 考点：导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明．

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