题目

已知数列的前项和满足，数列满足． Ⅰ求数列和数列的通项公式； Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围； Ⅲ数列中是否存在，且 使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案：Ⅰ，；Ⅱ或；Ⅲ 不存在，理由见解析． 【分析】 Ⅰ利用已知条件通过，说明数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出的通项公式，然后求解的通项公式；Ⅱ求出，判断数列的单调性，结合对于一切的正整数恒成立，得到求解即可；Ⅲ假设存在，使，，成等差数列，推出说明是与条件矛盾，得到结论． 【详解】 Ⅰ根据题意，数列满足， 当时，．当时，，， 即． 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列  所以，；       又由已知，得  Ⅱ依题意得，． 因为， 所以当时，取得最大值  因为对于一切的正整数n恒成立， 所以  解得或， 所以实数x的取值范围是或；  Ⅲ假设存在，使，，成等差数列， 则，即    两边同时除以，得   因为为偶数，为奇数，这与矛盾． 所以不存在，使，，成等差数列 【点睛】 本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．

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