题目

设和是两个等差数列，记， 其中表示这个数中最大的数． （Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列． 答案：（1）见解析（2）见解析 【解析】 试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减. 所以，从而得证；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明. 试题解析：（Ⅰ） ， . 当时，， 所以关于单调递减. 所以. 所以对任意，于是， 所以是等差数列. （Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 . 所以 ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以   对任意正数，取正整数， 故当时，. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生.

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