题目

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则___ . 答案：2059 【解析】 将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案。 【详解】 将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示： 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为， 设位于第，则，所以，， 且第行最后一项在数列中的项数为， 所以，位于杨辉三角数阵的第行第个， 第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为， 因此，          ，故答案为：。 【点睛】 本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题。

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