题目

设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”． （1）若数列为“数列”，求数列的通项公式； （2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列为“数列”，，设，证明：． 答案：（1）；（2）不存在；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析： （1）由题意得，故，两式相减可得，在此基础上可得数列为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．（3）由数列为“数列”，可得到对任意正整数恒成立，于是可得，然后根据错位相减法求得 ，故得，故，即，即结论成立． 试题解析： （1）因为数列为“数列”， 则 故， 两式相减得：， 又时，， 所以， 故对任意的恒成立，即（常数）， 故数列为等比数列，其通项公式为. （2）假设存在这样的数列，则有，故有 两式相减得：， 故有， 同理由是“数列”可得， 所以对任意恒成立． 所以， 即， 又， 即， 两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”． （3）因为数列为“数列”， 所以， 所以， 故有，， 又时，， 故，满足， 所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为：． 故， 所以， 两式相减得  ， 显然， 故， 即. 点睛： （1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论． （2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立．

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