题目

已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ； （Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式． 答案：(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【分析】 (Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； (Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可； (Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可. 【详解】 (Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6. (Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时， 设所有长度为的子列的末项分别为：， 所有长度为的子列的末项分别为：， 则， 注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列， 故， 据此可得：. (Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是， 下面说明此数列满足题意. 很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等. 长度为的递增子列末项的最小值为2s-1， 下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个： 当时命题显然成立， 假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个， 则当时，对于时得到的每一个子列， 可构造：和两个满足题意的递增子列， 则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个， 综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式. 注：当时，所有满足题意的数列为：， 当时，数列对应的两个递增子列为：和. 【点睛】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

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