中考数学试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．

（ 1 ）求抛物线的解析式；

（ 2 ）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．

（ 3 ）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；

分解因式：______．

计算：．

（2019·内蒙古中考模拟）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？

（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；

（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？

（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

计算：

（1） ______；（2）______；（3） ______．

如图 1 ，在 △ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 ， D 为 △ ABC 内部的一动点（不在边上），连接 BD ，将线段 BD 绕点 D 逆时针旋转 60° ，使点 B 到达点 F 的位置；将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 60° ，使点 A 到达点 E 的位置，连接 AD ， CD ， AE ， AF ， BF ， EF ．

（ 1 ）求证： △ BDA ≌△ BFE ；

（ 2 ） ① CD + DF + FE 的最小值为；

② 当 CD + DF + FE 取得最小值时，求证： AD ∥ BF ．

（ 3 ）如图 2 ， M ， N ， P 分别是 DF ， AF ， AE 的中点，连接 MP ， NP ，在点 D 运动的过程中，请判断 ∠ MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．

某大学为了解大学生对中国党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 50 分， 30 分及 30 分以上为合格： 40 分及 40 分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．

大学一年级 20 名学生的测试成绩为： 39 ， 50 ， 39 ， 50 ， 49 ， 30 ， 30 ， 49 ， 49 ， 49 ， 43 ， 43 ， 43 ， 37 ， 37 ， 37 ， 43 ， 43 ， 37 ， 25

大学二年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：

年级	平均数	众数	中位数	优秀率
大一	a	b	43	m
大二	39.5	44	c	n

请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：

（ 1 ）上表中 a ＝ __________ ， b ＝ __________ ， c ＝ __________ ， m ＝ __________ ， n __________ ；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；

（ 2 ）已知该大学一、二年级共 1240 名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过 1000 人；

（ 3 ）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，是的外角．

求证：．

下列说法正确的是（）

A ．证法 1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B ．证法 1 用严谨的推理证明了该定理

C ．证法 2 用特殊到一般法证明了该定理

D ．证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

在中，，若，则的长是________．

如图，点在上，，则（）

A ． B ． C ． D ．

若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是______；（2）a的值是______；（3）方差是______．

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图 13-1 ）．

第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图 13-2 ）．

猜想论证：

（ 1 ）若延长交于点，如图 13-3 所示，试判定的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（ 2 ）在图 13-3 中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符（ 1 ）中的等边三角形？

下列命题中，假命题是（）

A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合

C ．若，则点 B 是线段 AC 的中点

D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心

的倒数是 ____ ， 5.7 的相反数的绝对值是 ____ ，的相反数是 ____

垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源，为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校 1565 名学生参加了 “ 垃圾分类知识竞赛 ” （满分为 100 分），该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．