题目

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展开（如图 13-1 ）． 第二步：再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 （如图 13-2 ）． 猜想论证： （ 1 ）若延长 交 于点 ，如图 13-3 所示，试判定 的形状，并证明你的结论． 拓展探究： （ 2 ）在图 13-3 中，若 ，当 满足什么关系时，才能在矩形纸片 中剪出符（ 1 ）中的等边三角形 ？ 答案： (1) 是等边三角形，理由见解析；（ 2 ） ，理由见解析 【分析】 （ 1 ）连接 ，由折叠性质可得 是等边三角形， ， ，然后可得到 ，即可判定 是等边三角形． （ 2 ）由折叠可知 ，由（ 1 ）可知 ，利用 的三角函数即可求得． 【详解】 （ 1 ）解： 是等边三角形， 证明如下： 连接 ． 由折叠可知： ， 垂直平分 ． ∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形． （ 2 ）解：方法一： 要在矩形纸片 上剪出等边 ，则 ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 当 或（ ）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边 ． 方法二： 要在矩形纸片 上剪出等边 ，则 ， 在 中， ， ， 设 ，则 ， ∴ ，即 ，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 当 （或 ）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边 ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．

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