题目

如图 1 ，在 △ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 ， D 为 △ ABC 内部的一动点（不在边上），连接 BD ，将线段 BD 绕点 D 逆时针旋转 60° ，使点 B 到达点 F 的位置；将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 60° ，使点 A 到达点 E 的位置，连接 AD ， CD ， AE ， AF ， BF ， EF ． （ 1 ）求证： △ BDA ≌△ BFE ； （ 2 ） ① CD + DF + FE 的最小值为 ； ② 当 CD + DF + FE 取得最小值时，求证： AD ∥ BF ． （ 3 ）如图 2 ， M ， N ， P 分别是 DF ， AF ， AE 的中点，连接 MP ， NP ，在点 D 运动的过程中，请判断 ∠ MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 答案： （ 1 ）见解答； （ 2 ） ① ； ② 见解答； （ 3 ）是， ∠ MPN =30° ． 【分析】 （ 1 ）由旋转 60° 知， ∠ ABD =∠ EBF 、 AB = AE 、 BD = BF ，故由 SAS 证出全等即可； （ 2 ） ① 由两点之间，线段最短知 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小，且 CD + DF + FE 最小值为 CE ，再由 ∠ ACB =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 求出 BC 和 AB ，再由旋转知 AB = BE ， ∠ CBE =90° ，最后根据勾股定理求出 CE 即可； ② 先由 △ BDF 为等边三角形得 ∠ BFD =60° ，再由 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小， ∠ BFE =120°=∠ BDA ，最后 ADF =∠ ADB -∠ BDF =120°-60°=60° ，即证； （ 3 ）由中位线定理知道 MN ∥ AD 且 PN ∥ EF ，再设 ∠ BEF =∠ BAD =α ， ∠ PAN =β ，则 ∠ PNF =60° -α+β ， ∠ FNM =∠ FAD =60° +α-β ，得 ∠ PNM =120° ． 【详解】 解：（ 1 ）证明： ∵∠ DBF =∠ ABE =60° ， ∴∠ DBF -∠ ABF =∠ ABE -∠ ABF ， ∴∠ ABD =∠ EBF ， 在 △ BDA 与 △ BFE 中， ， ∴△ BDA ≌△ BFE （ SAS ）； （ 2 ） ①∵ 两点之间，线段最短， 即 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小， ∴ CD + DF + FE 最小值为 CE ， ∵∠ ACB =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 ， ∴ BE = AB =2 ， BC = ， ∵∠ CBE =∠ ABC +∠ ABE =90° ， ∴ CE = ， 故答案为： ； ② 证明： ∵ BD = BF ， ∠ DBF =60° ， ∴△ BDF 为等边三角形， 即 ∠ BFD =60° ， ∵ C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小， ∴∠ BFE =120° ， ∵△ BDA ≌△ BFE ， ∴∠ BDA =120° ， ∴∠ ADF =∠ ADB -∠ BDF =120°-60°=60° ， ∴∠ ADF =∠ BFD ， ∴ AD ∥ BF ； （ 3 ） ∠ MPN 的大小是为定值，理由如下： 如图，连接 MN ， ∵ M ， N ， P 分别是 DF ， AF ， AE 的中点， ∴ MN ∥ AD 且 PN ∥ EF ， ∵ AB = BE 且 ∠ ABE =60° ， ∴△ ABE 为等边三角形， 设 ∠ BEF =∠ BAD = α ， ∠ PAN = β ， 则 ∠ AEF =∠ APN =60°- α ， ∠ EAD =60°+ α ， ∴∠ PNF =60°- α + β ， ∠ FNM =∠ FAD =60°+ α - β ， ∴∠ PNM =∠ PNF +∠ FNM =60°- α + β +60°+ α - β =120° ， ∵△ BDA ≌△ BFE ， ∴ MN = AD = FE = PN ， ∴∠ MPN = (180°-∠ PNM )=30° ． 【点睛】 本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．

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