8 相似三角形的性质知识点题库

已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，则EF：BC=．

【探究证明】

（1）
某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
【结论应用】
（2）
如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
【联系拓展】
（3）
如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm² ．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？

如图，甲、乙两人分别从A（1， $\text{[math]}$ ）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN² ，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

若△ABC～△A′B′C′，面积比为1：4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（）

A . 16：1 B . 1：16 C . 2：1 D . 1：2

如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC= $\text{[math]}$ ，AC=5，那么△DBF的面积等于．

如图，抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ= $\text{[math]}$ MN时，求菱形对角线MN的长．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，DE⊥B于点E，连CE．

（1）
如图1，已知AC=BC，AD=2CD，
①△ADE与△ABC面积之比；
②求tan∠ECB的值；
（2）
如图2，已知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =k，求tan∠ECB的值（用含k的代数式表示）．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A .

B .

C .

D .

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），若以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，则线段 $\text{[math]}$ ．

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．

（1） △DEF在平移的过程中，AP＝CE＝(用含t的代数式表示)；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值．
（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，
①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；

②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

如图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF, 点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为（）

A . 200cm² B . 170cm² C . 150cm² D . 100 cm²

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．

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（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）如果AB=6，AD=4，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，是由6 $\text{[math]}$ 6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．

（1）在图1中找一个格点D ，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为点 $\text{[math]}$ 且经过点 $\text{[math]}$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一动点，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，请你求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 使得以点 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝.

如图，△ABC∽△ACD ，相似比为2，则S_△BDC：S_△DAC为（）

A . 4：1 B . 3：1 C . 2：1 D . 1：1

如果两个相似三角形的对应边之比为2：5，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 无法确定

如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3） D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．

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