题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，DE⊥B于点E，连CE． （1） 如图1，已知AC=BC，AD=2CD，①△ADE与△ABC面积之比；②求tan∠ECB的值； （2） 如图2，已知 = =k，求tan∠ECB的值（用含k的代数式表示）． 答案： 解：①作EH⊥AD于H，如图1，设CD=x，则AD=2x，AC=BC=3x， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠A=45°， 而DE⊥AB， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AH=HDF=HE=x， ∴S△ADE= 1 2 •2x•x=x2， ∵S△ACB= 1 2 •3x•3x= 9 2 x2， ∴ S △ A D E S △ A C B = x 2 9 2 x 2 = 2 9 ； ②在Rt△CHE中，tan∠HEC= C H H E = 2 x x =2， ∵HE∥BC， ∴∠BCE=∠HEC， ∴tan∠ECB=2； 解：作EH⊥AD于H，如图2，设CD=a，∵ BCAC = ADDC =k，∴AD=ak，BC=kAC，∴AC=（k+1）a，∴BC=（k2+k）a，∴AB= (k+1)2a2+(k2+k)2a2 =（k+1） k2+1 •a，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴ ADAB = AEAC ，即 ak(k+1)k2+1a = AE(k+1)a ，解得AE= akk2+1 ，∵HE∥BC，∴△AHE∽△ACB，∴ AHAC = HEBC = AEAB ，即 AH(k+1)a = HE(k2+k)a = akk2+1(k+1)k2+1a ，∴AH= akk2+1 ，HE= k2ak2+1 ，∴CH=AC﹣AH=（k+1）a﹣ akk2+1 = k3+k2+1k2+1 a，∴tan∠HEC= CHHE = k3+k2+1k2+1ak2ak2+1 = k3+k2+1k2 ，∵HE∥BC，∴∠BCE=∠HEC，∴tan∠ECB= k3+k2+1k2 ．

查看本题答案和解析