题目

如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 抛物线 的对称轴是直线 与 轴的交点为点 且经过点 两点． （1） 求抛物线的解析式； （2） 点 为抛物线对称轴上一动点，当 的值最小时，请你求出点 的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 ，过点 作 轴于点 使得以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵直线 y=−12x+2 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ， ∴当y=0时，即 0=−12x+2 ，解得：x=4，则点B的坐标为 (4，0) ， 当x=0时， y=−12×0+2=2 ，则点C的坐标为 (0，2) ， 由二次函数的对称性可知：点 A 与点 B 关于直线 x=32 对称， ∴点A的坐标为 (−1，0) ， ∵抛物线与 x 轴的交点为点 A(−1，0)，B(4，0) ， ∴可设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x−4) ， 又∵抛物线过点 C(0，2) ， ∴ 2=a(0+1)(0−4) ，解得： a=−12 ， ∴ y=−12(x+1)(x−4)=−12x2+32x+2 ∴抛物线的解析式为 y=−12x2+32x+2 解：如图1，连结CM、BM，作线段BC的垂直平分线 l 分别交BC、直线 x=32 于点 N、M' ，则N为BC中点； 由绝对值的性质可得： |BM−CM|≥0 ， ∴当 |BM−CM| 的值最小时，即 |BM−CM|=0 ，则此时 CM=BM ， ∴点M为 l 与直线 x=32 的交点，此时 M 与 M' 重合， 设 l 的解析式为： y=kx+b ， ∵直线BC的解析式为： y=−12x+2 ， BC⊥l ∴ −12⋅k=−1 ，解得： k=2 ，则 l 的解析式可化为： y=2x+b ， 由 B(4，0)，C(0，2) 得点N的坐标为 (2，1) ， 将 N(2，1) 代入 y=2x+b 得： 1=4+b ，解得： b=−3 ， ∴ y=2x−3 ， 将 x=32 代入 y=2x−3 ，得 y=2×32−3=0 ，即 M'(32，0) ， ∴当 |BM−CM| 的值最小时，点 M 的坐标为 (32，0) ， 存在； N(0，2) 或 N(3，2) 或 N(−2，−3) 或 N(−5，−18)

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