题目

如图，甲、乙两人分别从A（1， ）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点． （1） 请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行； （2） 当t为何值时，△OMN∽△OBA； （3） 甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2 ， 求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 答案： 证明：因为A坐标为（1， 3 ）， 所以OA=2，∠AOB=60°．因为OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，当 2−4t2 = 6−4t6 时，解得t=0，即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行 证明：因为甲达到O点时间为t= 12 ，乙达到O点的时间为t= 64 = 32 ，所以甲先到达O点，所以t= 12 或t= 32 时，O、M、N三点不能连接成三角形， ①当t＜ 12 时，如果△OMN∽△OBA，则有 2−4t2 = 6−4t2 ，解得t=2＞ 12 ，所以，△OMN不可能相似△OBA；②当 12 ＜t＜ 32 时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；③当t＞ 32 时， 4t−26 = 4t−62 ，解得t=2＞ 32 ，所以当t=2时，△OMN∽△OBA 证明：①当t≤ 12 时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MOH中，因为∠AOB=60°，所以MH=OMsin60°=（2﹣4t）× 32 = 3 （1﹣2t），OH=0Mcos60°=（2﹣4t）× 12 =1﹣2t，所以NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，所以s=[ 3 （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28②当 12 ＜t≤ 32 时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，在Rt△MOH中，MH= 32 （4t﹣2）= 3 （2t﹣1），NH= 12 （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，所以s=[ 3 （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28③当t＞ 32 时，同理可得s=[ 3 （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28，综上所述，s=[ 3 （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．因为s=16t2﹣32t+28=16（t﹣1）2+12，所以当t=1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2 3 km．

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