题目

如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2 ． 已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题： （1） 试判断△DOE的形状，并说明理由； （2） 当a为何值时，△DOE与△ABC相似？ 答案： 解：△DOE是等腰三角形． 理由如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= 33 × a2 = 36 a，AC=AB= 33 a，∴S△ABC= 12 BC•AM= 312 a2，∴P在边AB上时，y= xAB •S△ABC= 14 ax，P在边AC上时，y= AB+AC−xAB •S△ABC= 36 a2﹣ 14 ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形 解：由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°， ∴AM= 33 × a2 = 36 a，∴AB= 33 a，∴D（ 33 a， 312 a2），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF= yDxD = 3a21233a = 14 a，由 14 a=tan30°= 33 ，得a= 433 ，∴当a= 433 时，△DOE∽△ABC．

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