题目

如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ， ， ， 抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3） D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程． 答案： 解：由题意得，点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（4，0）、（0，8），设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c＝016a+4b+c＝0c＝8，解得{a＝−1b＝2c＝8，故抛物线的表达式为y=-x2+2x+8； 解：存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为（1，8）；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO=α，则tan∠CBO=OCOB=84=2=tanα，则sinα=25，cosα=15，在Rt△NMB中，NB=4-1=3，则BM=BNcosα=35，同理可得，MN=6，由点B、C的坐标得，BC=82+42=45，则CM=BC−MB=5，在Rt△PCM中，∠CPM=∠OBC=α，则PM=CMsinα=55=52，则PN=MN+PM=6+52=172，故点P的坐标为（1，172），故点P的坐标为（1，8）或（1，172）； 解：∵D为CO的中点，则点D（0，4），作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程=DE+EF+FC=D′E+EF+FC′=C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y=6x-4，对于y=6x-4，当y=6x-4=0时，解得x=23，当x=1时，y=2，故点E、F的坐标分别为(23，0)、（1，2）；G走过的最短路程为C′D′= (2−0)2+(8+4)2=237．

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