题目

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.【小题1】填空：菱形ABCD的边长是 ▲  、面积是 ▲  、高BE的长是 ▲  ；【小题2】探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得▲APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值 答案：【小题1】5,24,【小题2】①6，②或或.解析:(1)5,24,(2) ①由题意，得AP=t,AQ=10-2t,如图1，过点Q作QGAD,垂足为G,由QGBE得相似,所以,所以，所以S=()所以S=(),所以当t=时，S最大值为6② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只要三角形APQ为等腰三角形即可当t=4秒时，因为点P的速度为每秒1个单位。所以AP=4以下分两种情况讨论：第一种情况：当点Q在CB上时。因为,所以只存在点使如图2，过点作，垂足为M，交AC于F则由得,所以，所以,则，所以第二种情况，当点Q在BA上时,存在两点，分别使AP="A" ,PA="P" ①若AP="A" ，如图3，,则，所以②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，由△ANP∽△AEB,得. ∵AE= , ∴AN＝.           ∴AQ3=2AN=,  ∴BC+BQ3=10-则.∴.         综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.

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