题目

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)． （1） △DEF在平移的过程中，AP＝CE＝(用含t的代数式表示)；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值． （2） 在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE， ①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值； ②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】解：如图1，△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝t； 当D在AC上时，如图2， ∵DE＝DF， ∴EC＝CF＝ 12 EF＝5， ∴t＝5． 故答案为：t； 解：①如图3，过点P作PM⊥BC于M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△PBM， ∴ ACPM=ABPB ， ∴ 8PM=1010−t ， ∴PM＝8﹣ 45 t， 又∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°， ∴∠EQC＝∠DEF＝45°， ∴CE＝CQ＝t， ∴y＝S△ACB﹣S△ECQ﹣S△PBE＝ 12 AC•BC﹣ 12 EC•CQ﹣ 12 BE•PM， ＝ 12 ×8×6﹣ 12 ×t×t﹣ 12 (6﹣t)(8﹣ 45 t)， ＝﹣ 910t2+325 t (0＜t≤5)， ∵a＝﹣ 910 ＜0， ∴当x＝﹣ b2a ＝﹣ 325-95 ＝ 329 时，y最大值＝﹣ 910 × （329）2 + 325 × 329 ＝ 51245 ， ②存在． i)当∠PQE＝90°时，如图4， 过点P作PH⊥BE于H，过点P作PW⊥AC于W， ∴△ABC∽△APW， ∴ ABAP=BCPW=ACAW ，即 10t=6PW=8AW ， ∴PW＝ 35 t，AW＝ 45 t， ∴QW＝8﹣ 45 t﹣t＝8﹣ 95 t，EH＝t﹣ 35 t＝ 25 t， 由①可得：CE＝CQ＝t，PH＝8﹣ 45 t ∴PQ2＝PW2+QW2＝( 35 t)2+(8﹣ 95 t)2＝ 185 t2﹣ 1445 t+64， PE2＝PH2+EH2＝(8﹣ 45 t)2+( 25 t)2＝ 45 t2﹣ 645 t+64， EQ2＝CE2+CQ2＝t2+t2＝2t2 ∵∠PQE＝90°， 在Rt△PEQ中，PQ2+EQ2＝PE2， 即：( 185 t2﹣ 1445 t+64)+(2t2)＝ 45 t2﹣ 645 t+64 解得：t1＝0(舍去) t2＝ 103 ； 当∠PEQ＝90°， PE2+EQ2＝PQ2 即：( 45 t2﹣ 645 t+64)+(2t2)＝ 185 t2﹣ 1445 t+64 解得：t1＝0(舍去) t2＝20(舍去) ∴此时不存在； 当∠EPQ＝90°时 PQ2+PE2＝EQ2， 即：( 185 t2﹣ 1445 t+64)+( 45 t2﹣ 645 t+64)＝2t2， t1＝ 403 (舍去) t2＝4， 综合上述：当t＝ 103 或t＝4时，△PQE是直角三角形．

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