题目

如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6． （1） 求抛物线的解析式及点D的坐标； （2） 连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标； （3） 平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ= MN时，求菱形对角线MN的长． 答案： 解：∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴ {12×62+6b+c=0c=−6 ，解得 {b=−2c=−6 ，∴抛物线解析式为y= 12 x2﹣2x﹣6，∵y= 12 x2﹣2x﹣6= 12 （x﹣2）2﹣8，∴点D的坐标为（2，﹣8）； 解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x， 12 x2﹣2x﹣6），则FG=| 12 x2﹣2x﹣6|，在y= 12 x2﹣2x﹣6中，令y=0可得 12 x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，则AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴ FGBE = AGDE ，即 |12x2−2x−6|x+2 = 48 = 12 ，当点F在x轴上方时，则有 12x2−2x−6x+2 = 12 ，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7， 92 ）；当点F在x轴上方时，则有 12x2−2x−6x+2 =﹣ 12 ，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣ 72 ）；综上可知F点的坐标为（7， 92 ）或（5，﹣ 72 ）； 解：∵点P在x轴上，∴由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，∵PQ= 12 MN，∴MT=2PT，设PT=n，则MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M在抛物线上，∴n= 12 （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 1+654 或n= 1−654 ，∴MN=2MT=4n= 65 +1；当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），∴﹣n= 12 （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= −1+654 或n= −1−654 （舍去），∴MN=2MT=4n= 65 ﹣1；综上可知菱形对角线MN的长为 65 +1或 65 ﹣1．

查看本题答案和解析