定义新运算知识点题库

若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数

例如：有理数 $\text{[math]}$ 与3，因为 $\text{[math]}$ ＋3＝ $\text{[math]}$ 3．所以有理数与 $\text{[math]}$ 与3是互为相依数

（1）直接判断下列两组有理数是否互为相依数，
①－5与－2 ②－3与 $\text{[math]}$
（2）若有理数 $\text{[math]}$ 与 -7 互为相依数，求m的值；
（3）若有理数a与b互为相依数，b与c互为相反数，求式子 $\text{[math]}$ 的值
（4）对于有理数a（a $\text{[math]}$ 0，1），对它进行如下操作：取a的相依数，得到 $\text{[math]}$ ；取 $\text{[math]}$ 的倒数，得到 $\text{[math]}$ ；取 $\text{[math]}$ 的相依数，得到 $\text{[math]}$ ；取 $\text{[math]}$ 的倒数，得到 $\text{[math]}$ ；….;依次按如上的操作得到一组数 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,…, $\text{[math]}$ . 若a= $\text{[math]}$ ,试着直接写出 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,…, $\text{[math]}$ 的和.

对于有理数a、b，定义一种新运算a☆b＝a²﹣|b|，则4☆（﹣3）＝

阅读下面的材料：

对于实数 $\text{[math]}$ ，我们定义符号 $\text{[math]}$ 的意义为：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，如： $\text{[math]}$ ．

根据上面的材料回答下列问题：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求x的取值范围．

阅读：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3+(-2)=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移 $\text{[math]}$ 个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移 $\text{[math]}$ 个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：

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（1）计算： $\text{[math]}$ ，
（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B．请你在图1中画出四边形OABC；
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i²＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.如（1+3i）²＝1²+2×1×3i+（3i）²＝1+6i+9i²＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此（1+3i）²的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）²的虚部是12，则实部是．

我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 互为对顶角，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质： $\text{[math]}$ ．

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（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）性质应用：
①如图3，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

②如图4，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 比 $\text{[math]}$ 大 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（3）拓展提高：
如图5，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数（用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ）．

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个正数，满足 $\text{[math]}$ ，称该不等式为均值不等式（且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此时a+b有最小值 $\text{[math]}$ ），如果两个正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足均值不等式，那么当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值为．

发现：小明经过计算总结出两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一

例1．计算： $\text{[math]}$ ．

方法：32头尾拉开，中间相加，即3+2=5，满十进一，计算结果为352．

例2．计算： $\text{[math]}$

方法：57头尾拉开，中间相加，即5+7=12，满十进一，计算结果为627

（1）尝试：
① $\text{[math]}$ ．

② $\text{[math]}$ ．

③ $\text{[math]}$ ．
（2）探究：一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字是n，这个两位数乘11．
①若 $\text{[math]}$ ，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是什么？请通过计算加以证明

②若 $\text{[math]}$ ，直接写出计算结果中十位上的数字．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，旋转角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 给出如下定义：将图形 $\text{[math]}$ 绕原点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到图形 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上的任意一点，称 $\text{[math]}$ 长度的最小值为图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 的“转后距”．已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

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（1）当 $\text{[math]}$ 时，记线段 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ ．
①画出图形 $\text{[math]}$ ；

②若点 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ ，则“转后距”为 ▲ ；

③若线段 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ ，求“转后距”；
（2）已知点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，点 $\text{[math]}$ ，记线段 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ ，对任意旋转角 $\text{[math]}$ ，“转后距”大于1，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

形如 $\text{[math]}$ 的式子叫二阶行列式，他的运算法则用公式表示为 $\text{[math]}$ ，依此法则计算 $\text{[math]}$ =（）

A . 11 B . －11 C . 5 D . 2

如果实数a，b满足 $\text{[math]}$ 的形式，那么a和b就是“智慧数”，用 $\text{[math]}$ 表示．

如：由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是“智慧数”．

（1）下列是“智慧数”的是（填序号）；
① $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
（2）如果 $\text{[math]}$ 是“智慧数”，那么“☆”的值为；
（3）如果 $\text{[math]}$ 是“智慧数”，
①y与x之间的关系式为 $\text{[math]}$ ；

②当x＞0时，y的取值范围是；

③在②的条件下，y随x的增大而（填“增大”，“减小”或“不变”）．

阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．

你知道“皮克定理”吗？

“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即 $\text{[math]}$ ，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．

任务：

（1）如图2，是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则 $\text{[math]}$ ．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．

如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程x﹣3＝0的解为x＝3，不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以方程x﹣3＝0为不等式组 $\text{[math]}$ 的关联方程．若方程2x+1＝x+2与3（x﹣1）＝x+1都是关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 的关联方程，则满足题意的整数m可以是（写出一个即可）；m的取值范围是．

我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有 $\text{[math]}$ =ad-bc．若正整数x满足 $\text{[math]}$ ≥-18，则满足条件的x的值为．

在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则定 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．

（1）请直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直角距离小分量 $\text{[math]}$ ；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点 $\text{[math]}$ 的直角距离小分量 $\text{[math]}$ ，求出点D的坐标；
（3）若点 $\text{[math]}$ 满足以下条件：
a）点M在第一象限；

b）点M与点 $\text{[math]}$ 的直角距离小分量 $\text{[math]}$

c） $\text{[math]}$ ，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标．

已知 $\text{[math]}$ 是有理数，设定 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，则 $\text{[math]}$ 的值为．

新定义：如图①，已知 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内部画射线OC，得到三个角，分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为 $\text{[math]}$ 的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

（1）（阅读理解）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图①， $\text{[math]}$ ，射线OC为 $\text{[math]}$ 的“幸运线”，则 $\text{[math]}$ 的度数为；（直接写出答案）
（3）（解决问题）
如图②，已知 $\text{[math]}$ ，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒 $\text{[math]}$ ．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．
（4）（实际运用）
周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？

小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：

x+ $\text{[math]}$ =0的解为x=﹣ $\text{[math]}$ ，而﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣1；

2x+ $\text{[math]}$ =0的解为x=﹣ $\text{[math]}$ ，而﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣2．

于是，小东将这种类型的方程作如下定义：

若一个关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：

（1）若a=﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
（2）若关于x的方程ax+b=0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2=（b+ $\text{[math]}$ ）y．

阅读材料：

材料一：对实数a，b，定义 $\text{[math]}$ 的含义为：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问： $\text{[math]}$ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： $\text{[math]}$ ．也可以这样理解：令 $\text{[math]}$ ①，则 $\text{[math]}$ ②，①+②： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．