定义新运算知识点题库

边长为 $\text{[math]}$ 的菱形是由边长为 $\text{[math]}$ 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 $\text{[math]}$ ，则称为 $\text{[math]}$ 为这个菱形的“形变度”．

（1）一个“形变度”为 $\text{[math]}$ 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．
（2）如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为菱形网格（每个小菱形的边长为 $\text{[math]}$ ，“形变度”为 $\text{[math]}$ ）中的格点，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

对于有理数a、b，定义一种新运算a☆ b=a²﹣|b|，则2☆(﹣3)=

在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”.若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”.比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”.

（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值.
（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.

若规定一种运算 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

一般情况下 $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 不成立，但有数可以使得它成立.利润a＝b＝0.我们称使得 $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为.

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上的点，将 $\text{[math]}$ 绕B点旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，此时点E的对应点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则四边形 $\text{[math]}$ 为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形 $\text{[math]}$ 是“直等补”四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．
①求 $\text{[math]}$ 的长．

②若M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的动点，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．

（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．
（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：
①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；

②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B ，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．

阅读下列材料:对于排好顺序的三个数: $\text{[math]}$ 称为数列 $\text{[math]}$ .将这个数列如下式进行计算: $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列 $\text{[math]}$ 的“关联数值”.

例如：对于数列 $\text{[math]}$ 因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 所以数列 $\text{[math]}$ 的“关联数值”为6.进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列 $\text{[math]}$ 的 “关联数值”为0；数列 $\text{[math]}$ 的“关联数值”为3...而对于“ $\text{[math]}$ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.

（1）数列 $\text{[math]}$ 的“关联数值”为；
（2）将“ $\text{[math]}$ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是，取得“关联数值”的最大值的数列是
（3）将“ $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求 $\text{[math]}$ 的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列.

阅读材料：我们知道， $\text{[math]}$ ，类似地，我们把 $\text{[math]}$ 看成一个整体，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.

尝试应用：

（1）把 $\text{[math]}$ 看成一个整体，合并 $\text{[math]}$ 的结果是.
（2）当 $\text{[math]}$ 时，代数式 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，求代数式 $\text{[math]}$ 的值.
（3）拓广探索：
已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解(p⩽q)称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算：F(n)= $\text{[math]}$ .例如：12=1×12=2×6=3×4，这时就有F(12)= $\text{[math]}$ .则F(24)=.

按照下面的编程运算，若输入的x=2，则输出的数y的值是（）

图片_x0020_100001

A . -3 B . 22 C . 32 D . 62

对于有理数x、y定义一种运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . -11 C . 1 D . 11

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P’点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，P′点坐标为（a，﹣b）．

（1）求A（5，3），B（1，6），C（﹣2，4）的变换点坐标；
（2）如果直线l与x轴交于点D（6，0），与y轴交于点E（0，3）．直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；
（3）若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．

有这样一个问题：探究函数y $\text{[math]}$ 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）化简函数解析式，当x≥3时，y=，当x＜3时，y=；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y $\text{[math]}$ 的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程x+a $\text{[math]}$ 有唯一解，直接写出实数a的取值范围：．

定义 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 的一个根是 $\text{[math]}$ ，则此方程的另一个根是（）

A . -2 B . -3 C . -4 D . -5

如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A₁B＝BC，在边A₁B上任取一点D，延长CA₁到A₂ ，使A₁A₂＝A₁D，得到第二个△A₁A₂D，再在边A₂D上任取一点E，延长A₁A₂到A₃ ，使A₂A₃＝A₂E，得到第3个△A₂A₃E……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为．