定义新运算知识点题库

现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a²-3a+b，如：3★5= $\text{[math]}$ ，若x★2=6，则实数x的值是

A . -4或-1 B . 4或-1 C . 4或-2 D . -4或2

定义一种运算（a*b）=2a×(a+b)，则4*5=。

对于任意四个有理数a ， b ， c ， d ，可以组成两个有理数对（a ， b）与（c ， d）．规定：（a ， b）★（c ， d）=ad－bc ．如：（1，2）★（3，4）=1×4－2×3=－2．

根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（5，－3）★（3，2）=；
（2）若有理数对（－3，x－1）★（2，2x+1）=15，则x=；
（3）若有理数对（2，x－1）★（k ， 2x＋k）的值与x的取值无关，求k的值．

规定a﹡b=5a+2b-1,则(-4)﹡6的值为。

某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左往右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在的班级序号，其序号为 $\text{[math]}$ ，如图1，第一行数字从左往右依次为0，1，0，1，序号为 $\text{[math]}$ ，表示该生为5班学生，则图2识别图案的学生所在班级为班 $\text{[math]}$

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（1） a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，求2a+3b+4c的倒数；
（2）已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=3y -6x+2，求 $\text{[math]}$ ※(-2)的值。

定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，解决下列问题：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的结果为．

阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．

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古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p= $\text{[math]}$ ，则三角形的面积S= $\text{[math]}$ ．

我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= $\text{[math]}$ ．

（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．
（2）若一个三角形的三边长分别是 $\text{[math]}$ ，求这个三角形的面积．

对于有理数a，b定义一种新运算，规定 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．

例如：（4，1）的一对“对称数对”为（ $\text{[math]}$ ，1）和（1， $\text{[math]}$ ）；

（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为；
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（ $\text{[math]}$ ，1），则x的值为；
（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求ab的值．

对于平面直角坐标系xOy中的图形W₁和图形W₂ ．给出如下定义：在图形W₁上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W₂上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W₁和图形W₂满足限距关系

（1）如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0， $\text{[math]}$ )，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为，最大值为；线段CP的取值范直范围是；

②在点O，点C中，点与线段DE满足限距关系；
（2）如图2，⊙O的半径为1，直线 $\text{[math]}$ (b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3） ⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

定义运算：x*y＝x²y﹣2xy﹣1，例如4*2＝4²×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0的根的情况为（）

A . 有两个不相等的实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 无实数根 D . 只有一个实数根

对于实数x，符号[x]表示不大于x的最大整数解，如：[π]＝3，[6]＝6，[﹣7.5]＝﹣8.若[ $\text{[math]}$ ]＝2，则a的值范围是.

规定： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论中，正确的是（）

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③能使 $\text{[math]}$ 成立的x的值不存在；④式子 $\text{[math]}$ 的最小值是9.

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“协调数”。

例如：3245，x=3+4，y=2+5，∵x=y，∴3245是“协调数”。

（1）直接写出：最小的“协调数”是，最大的“协调数”是；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数"。

如果定义新运算“※”，满足a※b＝a×b－a÷b，那么1※（-2）＝.

如果规定这样一种运算法则：a※b＝a²＋2ab，例如：3※（﹣2）＝3²＋2×3×（﹣2）＝﹣3.则（﹣3）※2＝.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“非常距离”，给出如下定义：

若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为 $\text{[math]}$ ；

若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为 $\text{[math]}$ .

例如：点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为 $\text{[math]}$ ，也就是图1中线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 长度的较大值(点 $\text{[math]}$ 为垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 与垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 交点).

（1）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，
①若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②直接写出点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”的最小值；
（2）已知 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，
①如图2，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”的最小值及相应的点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②如图3， $\text{[math]}$ 是以原点 $\text{[math]}$ 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”的最小值及相应的点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的坐标.