定义新运算 知识点题库

规定一种运算“*”，a*b= a-b，则方程x*2=1*x的解为．

规定一种新的运算：A☆B=A×B﹣A﹣B+1，如3☆（﹣4）=3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+1=10．则2☆（﹣3）=．

琪琪发明了一个魔术盒，当数对(a，b)进入其中时(a，b为有理数)，会得到一个新的有理数a²-3b+2，例如，把数对(1，-2)放入其中，就会得到1²-3x(-2)+2=9．现将数对(m，-2m)和数对(-m，m)分别放入其中，得到新的有理数的值分别记为x和y，若y-x=3，则m的值为。

一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如：2²﹣1²＝3，3就是智慧数，从0开始，不大于2019的智慧数共有个．

对于任意实数 、 ，定义关于“ ”的一种运算如下： ，例如： .若 ， ，则 =， .

现规定一种新的运算： ＝ad﹣bc ， 例如 ＝1×4﹣2×3＝﹣2，当 ＝15时，则x＝

定义一种新的运算：a※b=2a+b ， 已知关于x不等式x※k ≥ 2的解集在数轴上表示如图，则k= ．

阅读下面一段文字：

在数轴上点A，B分别表示数a，b.A，B两点间的距离可以用符号 表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离 .

例如：当a=2，b=5时， =5-2=3；当a=2,b=-5时， = =7；当a=-2，b=-5时， = =3.综合上述过程，发现点A、B之间的距离 = (也可以表示为 ).

请你根据上述材料，探究回答下列问题：

填空：

先观察下列各等式及其验证过程，然后解答问题：

① 验证： ；

② 验证： ；

解答下列问题：

对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，例如 ，若 ，则x的取值范围是（   ）

在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点．

对有序数对 定义“f运算”： ，其中a、b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点 规定“F变换”：点 在F变换下的对应点即为坐标为 的点 ．

下列各式是按新定义的一种“☆”运算得到，观察下列等式：

☆ ，    ☆

☆ ，    ☆

根据这个定义，计算 ☆ 的结果为.

如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．当 时， 是．

阅读材料：我们知道，3x﹣2x＝（3﹣2）x＝x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则3（a+b）﹣2（a+b）＝（3﹣2）（a+b）＝a+b．“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，根据材料，请解决下列问题：

对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为 （其中k为常数， ）则称点 为点P的“k属派生点”，例如： 的“2属派生点”为 ，即 .

定义一种新运算⊗：x⊗y＝3x﹣2y，那么（﹣5）⊗4＝.

定义一种新的运算： ，例如： ，那么

对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x ， y)，给出如下定义：记a＝xy ， b＝x＋y ， 将点M(a ， b)与点N(b ， a)称为点P的一对伴随点．例如，点M(5，1)与点N(1，5)为点P(3，2)的一对伴随点．