定义新运算知识点题库

规定一种新的运算：a★b=a×b-a-b²+1，例如3★（-4）=3×（-4）-3-（-4）²+1．请计算下列各式的值。

（1） 2★5；
（2）（-2）★（-5）．

若将代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如 $\text{[math]}$ 就是完全对称式．下列三个代数式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中是完全对称式的是（）．

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

规定一种新运算 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -2 B . 5 C . 7 D . 8

对于实数a、b定义一种运算“※”，规定a※b＝ $\text{[math]}$ ，如1※3═ $\text{[math]}$ ，则方程x※（﹣2）＝ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 的解是（）

A . x＝4 B . x＝5 C . x＝6 D . x＝7

在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），若x₁x₂+y₁y₂＝0，且A，B均不为原点，则称A和B互为正交点．比如：A（1，1），B（2，﹣2），其中1×2+1×（﹣2）＝0，那么A和B互为正交点．

（1）点P和Q互为正交点，P的坐标为（﹣2，3），
①如果Q的坐标为（6，m），那么m的值为多少；

②如果Q的坐标为（x，y），求y与x之间的关系式；
（2）点M和N互为正交点，直接写出∠MON的度数；
（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，圆心F在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，给出如下定义：若点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $\text{[math]}$ 的“近距离”，记为 $\text{[math]}$ .特别地，当图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 有公共点时， $\text{[math]}$ .

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（1） $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2） ⊙ $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ，
①当 $\text{[math]}$ 时，求⊙ $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的“近距离” $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
（3） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，⊙ $\text{[math]}$ 的半径为1，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为点 $\text{[math]}$ ，⊙ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“近距离” $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出圆心 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，对于一个点P和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB上存在一点，与点P之间的距离小于等于1，那么就把点P叫做线段AB的关联点．

（1）如图，在P₁ ， P₂ ， P₃ ， P₄ ，这四个点中，是线段AB的关联点的是；
（2）点E是线段AB的关联点，请在图中画出点E的所有位置．

阅读下列材料，并完成任务．

筝形的定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法.也就是说，如图，若四边形ABCD是一个筝形，则AB=AD，BC=CD；若AB=AD，BC=CD，则四边形ABCD是筝形.

如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=AD，BC=CD．对角线AC，BD相交于点O，过点O作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N.求证:四边形AMON是筝形.

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对于任意的实数m，n，定义运算“⊕”，规定 $\text{[math]}$ ，例如：3⊕2= $\text{[math]}$ ，2⊕3= $\text{[math]}$ ，计算(1⊕2) ⊕(2⊕1)的结果为（）

A . -4 B . 0 C . 6 D . 12

定义一种运算： $\text{[math]}$ ，k是正整数，且k≥2，[x]表示非负实数x的整数部分，例如[1.6]=1，[0.3]=0，若a₁=1，则a₂₀₁₀ =.

形如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =ad﹣bc，依此法则计算： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a， $\text{[math]}$ ），给出如下定义：

若 $\text{[math]}$ ，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（−2，5）的限变点的坐标是（−2，−5）．

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（1） ①点 $\text{[math]}$ 的限变点的坐标是；
②在点A（−2，−1），B（−1，2）中有一个点是函数y=2x图象上某一个点的限变点，这个点是；
（2）若点P在函数y=−x+3（−4⩽x⩽k，k>−4）的图象上，其限变点Q的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求k的取值范围；
（3）若点P在关于x的二次函数y=x²−2tx+t²+t的图象上，其限变点Q的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，其中m>n．令s=m−n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．

阅读下列内容：设a ， b ， c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a ， b ， c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a²＝b²+c² ，则该三角形是直角三角形；②若a² $\text{[math]}$ b²+c² ，则该三角形是钝角三角形；③若a² $\text{[math]}$ b²+c² ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，6²＝36 $\text{[math]}$ 4²+5² ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，则x的值为．
（3）若一个三角形的三边长为a＝ $\text{[math]}$ ，b＝ $\text{[math]}$ ，c＝ $\text{[math]}$ ，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．

（阅读材料）

在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如： $\text{[math]}$ 等．

（问题解决）

利用上述材料中的方法，解决下列问题：

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）求 $\text{[math]}$ 的值．

在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝ $\text{[math]}$ .

（1）已知点A（0，1），B（1，0）.
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ▲ ；

②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝ $\text{[math]}$ ，求c的值.
（2）已知点M（m，0），点N（m＋2，0），直线y＝x＋2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤ $\text{[math]}$ ，直接写出m的取值范围.

阅读下列内容，并解决问题．

一道习题引发的思考

小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：

（习题再现）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m ， b= m²-1，c= m²+1，那么a ， b ， c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?

（资料搜集）定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a ， b ， c都是正整数，且满足a²+b²=c²，那么a ， b ， c称为一组勾股数．

关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．

（问题解答）

（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m ， m²+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．

阅读下面的文字，解答问题．

现规定：分别用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是 $\text{[math]}$ ，小数部分是 $\text{[math]}$ ；实数 $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即 $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ 的小数部分，所以 $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的立方根．

如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝3²﹣2² ， 5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）

A . 2020 B . 2021 C . 2022 D . 2023

数学概念：如图①，在△ABC中，D为∠ABC的对边AC上一点（点D不与点A、C重合），连接BD.若∠ADB和∠CDB这两个角中至少存在1个与∠ABC相等，则称BD为△ABC中∠ABC的等角分割线.

（1）概念理解：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°.分别画出∠B和∠C的等角分割线BD、CE.（画图工具不限，并做出适当的标注）
（2）知识运用：在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝75°.已知∠ABC、∠ACB的等角分割线BD、CE相交于点O，求∠BOC的度数.
（3）深入思考：下列关于“等角分割线”的结论：
①钝角三角形中的钝角有2条等角分割线；

②任意一个三角形中最少有1条等角分割线，最多有3条等角分割线.

③三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线；

④三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线；

其中所有正确结论的序号是.

[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．

（1） [理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形ABCD，每个三角尺三个内角的度数都是 30°、60°和 90°．四边形ABCD是什么四边形，∠ABC+∠ADC等于多少度；
（2） [探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A=90°．∠B=80°，E 是边 AD延长线上一点，求∠C和∠CDE的度数．
（3） [应用]如图③，四边形 ABCD 是垂美四边形，∠A=90°，BE 和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，交 AD、BC 于点 E、F．试说明 BE∥DF．

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