题目

阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： （习题再现）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m ， b= m²-1，c= m²+1，那么a ， b ， c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? （资料搜集）定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a ， b ， c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a ， b ， c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． （问题解答） （1） 根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2） 若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m ， m²+1）是一组勾股数； （3） 请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 答案： 把 m=6 代入 a=2m ， b=m2−1 ， c=m2+1 得： a=12 ， b=35 ， c=37 ， ∴ 这组勾股数为 (12，35，37) ； ∵m 表示大于1的整数， ∴m2−1 ， 2m ， m2+1 都是正整数，且 m2+1 是最大边， ∵(m2−1)+(2m)2=m4−2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2 ， ∴(m2−1，2m，m2+1) 是一组勾股数； (5，12，13) ， (7，24，25) 等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．

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