定义新运算知识点题库

定义运算“*”，规定x*y=2x+y，如1*2=4，2*3=7，则（﹣2）*5=．

对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b=2a﹣b，例如：5@3=10﹣3=7，（﹣3）@5=﹣6﹣5=﹣11．

（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）=x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．

对实数a，b定义运算 $\text{[math]}$

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
（2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ )在函数 $\text{[math]}$ 的图像上，且A， B两点关于坐标原点成中心对称，求点A的坐标；
（3）关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是.

规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果 $\text{[math]}$ ，那么(a，b)=c．

例如：因为2³=8，所以(2，8)=3．

（1）根据上述规定，填空：
（3，9）=，（5，125）=，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=，（-2，-32）=．
（2）令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试说明下列等式成立的理由： $\text{[math]}$ .

一般情况下，“ $\text{[math]}$ ”并不成立，但当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取某些数时，可以使它成立，例如 $\text{[math]}$ .我们称能使“ $\text{[math]}$ ”成立的数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为“优数对”，记为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

（1）若（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）是一个“优数对”，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）请你写出一个“优数对”（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；
（3）若（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）是一个“优数对”，求代数式 $\text{[math]}$ 的值.

我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．

（1） $\text{[math]}$ ＝；
（2）若[3+ $\text{[math]}$ ，则x的取值范围是．

类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”．

（1）概念理解：
如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，添加一个条件，使得四边形 $\text{[math]}$ 是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件；
（2）概念延伸：
下列说法正确的是．(填入相应的序号)

①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；

②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；

③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；

④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；
（3）问题探究：
如图 $\text{[math]}$ ，小红画了一个 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 方向平移得到 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使平移后的四边形 $\text{[math]}$ 是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段 $\text{[math]}$ 的长)？

用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ☆ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），如： $\text{[math]}$ ☆ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ☆ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ☆ $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，

（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）^④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把 $\text{[math]}$ （a≠0）记作a^ⓝ ，读作“a的圈n次方”．

（1）初步探究：
①直接写出计算结果：2^③＝， $\text{[math]}$ ^⑤＝；

②关于除方，下列说法错误的是

A．对于任何正整数n，1^ⓝ＝1；

B.3^④＝4^③

C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

①试一试：仿照上面算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：（-3）^④；5^⑥； $\text{[math]}$ ^⑩ ．

②算一算： $\text{[math]}$ ^④-4^③×8．

对于实数a，b，c，d，规定一种运算 $\text{[math]}$ =ad-bc，如 $\text{[math]}$ =1×(-2)-0×2=-2，那么当 $\text{[math]}$ =27时，则x=.

对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数（a，b）和（c，d）．

我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊗（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．

根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，﹣3）⊗（3，﹣2）＝；
（2）如果有理数m，n满足等式（﹣3，2m﹣1）⊗（2，m﹣n）＝5+2m，求m﹣3n﹣[6m﹣2（3n﹣1）]的值．

阅读理解：如图1在锐角△ABC中，∠A ， ∠B ， ∠C的对边分别是a，b，c ，其外接圆的半径为r ，作直径BD ，连接DC ，则∠A＝∠D ．

∵BD是直径，

∴∠BCD＝90°，

∴在Rt△BCD中， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解决问题：

如图2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2．

（1）求△ABC外接圆的半径r；
（2）求sinC的值．

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝3²﹣1² ， 16＝5³﹣3² ， 24＝7²﹣5² ，则8、16、24这三个数都是奇特数．

（1） 32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？

a、b表示两个有理数，规定新运算“※”为：a※b＝ma﹣3b（其中m为有理数），如果2※3＝3，那么3※4的值为．

设[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，则 $\text{[math]}$ =．

对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP＋2NP＝k，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP＋2NP＝3，所以点P是点M，N的“3和点”．

（1）如图，已知点A表示的数为－2，点B表示的数为2．

① 若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为；

② 若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，则k的值为；
（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．