题目

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a， ），给出如下定义： 若 ，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（−2，5）的限变点的坐标是（−2，−5）． （1） ①点 的限变点的坐标是； ②在点A（−2，−1），B（−1，2）中有一个点是函数y=2x图象上某一个点的限变点，这个点是； （2） 若点P在函数y=−x+3（−4⩽x⩽k，k>−4）的图象上，其限变点Q的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围； （3） 若点P在关于x的二次函数y=x2−2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标 的取值范围是 或 ，其中m>n．令s=m−n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围． 答案： 【1】(3,1)【2】B 由题意，函数 y=−x+3(−4≤x≤k,k>−4) 图象上的点P的限变点必在函数 y={−x+3(x≥1)x−3(−4≤x<1) 的图象上，函数图象如下所示： 则当 x=1 时， b′ 取得最大值2， 当 b′=−2 时， −x+3=−2 ，解得 x=5 ， 当 b′=−7 时， −x+3=−7 或 x−3=−7 ，解得 x=10 或 x=−4 ， 因为 −7≤b′≤2 ， 所以结合函数图象可知，k的取值范围为 5≤k≤10 二次函数 y=x2−2tx+t2+t=(x−t)2+t 的顶点坐标为 (t,t) ， 由题意，点Q必在函数 y={(x−t)2+t(x≥1)−(x−t)2−t(x<1) 的图象上， ①当 t>1 时， b′ 的取值范围为 b′≥m 或 b′<n ，与题意不符； ②当 t≤1 时， b′ 的取值范围为 b′≥m 或 b′≤n ，符合题意， 在 x≥1 内，函数值y的最小值为 (1−t)2+t ，即 m=(1−t)2+t ， 在 x<1 内，函数值的最大值为 −t ，即 n=−t ， 则 s=m−n=(1−t)2+t−(−t)=t2+1 ， 由二次函数的性质可知，当 t=0 时， s 取得最小值1， 故 s 的取值范围为 s≥1 ， 综上， s 关于t的函数解析式为 s=t2+1 ， s 的取值范围为 s≥1 ．

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