题目

在平面直角坐标系 中，旋转角 满足 ，对图形 与图形 给出如下定义：将图形 绕原点逆时针旋转 得到图形 ． 为图形 上任意一点， 为图形 上的任意一点，称 长度的最小值为图形 与图形 的“转后距”．已知点 ，点 ，点 ． （1） 当 时，记线段 为图形 ． ①画出图形 ； ②若点 为图形 ，则“转后距”为  ▲  ； ③若线段 为图形 ，求“转后距”； （2） 已知点 在点 的左侧，点 ，记线段 为图形 ，线段 为图形 ，对任意旋转角 ，“转后距”大于1，直接写出 的取值范围． 答案： 解；①如图，线段OA′，即为图形M′： ；2 ③连接 AC ，作 OD⊥AC 于 D ，作 AE⊥OC 于 E ，如图． 依题意， OD 的长度即为所求转后距． ∵ A(1,3) ， C(2,0) ， ∴ AE=3 ， OC=2 ， CE=1 ． 在 Rt△AEC 中， AC=AE2+CE2=2 ． ∵ S△AOC=12AE⋅OC=12OD⋅AC ， ∴ OD=AE⋅OCAC=3 ． ∴转后距为 3 ． 解：如图3中，由题意记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1， 观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件， 即满足条件的m的取值范围为：m＜−5或0＜m＜2．

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