题目

我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图 中， 的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质： ．   （1） 性质理解：如图2，在“对顶三角形” 与 中， ， ，求证： ； （2） 性质应用： ①如图3，则 的度数为； ②如图4，在 中，点 ， 分别在 ， 上， 若 比 大 ，求 的度数； （3） 拓展提高： 如图5，已知 ， 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相交于点 ，设 ，求 的度数（用 表示 ）． 答案： 证明：据题意，得 ∠BAO+∠B=∠C+∠D ， ∴ ∠BAO−∠C=∠D−∠B ， ∵ ∠EAO=∠C ， ∠D=2∠B ， ∴ ∠BAE=∠B 解：① ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠A+∠C+∠B+∠E+∠D =∠FGD+∠GFD+∠D=180° ； 故答案为： 180° ； ②由题意得 ∠ECD−∠DBE=20° ， 由（1）得 ∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC ， ∴ ∠BDO−∠OEC=20° ， ∵ ∠BOD=∠A ， ∴ ∠A+∠DOE=180° ， 故 ∠ADO+∠AEO=180° ， ∵ ∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180° ， ∴ ∠BDO=∠AEO ， ∴ ∠BDO+∠CEO=180° ， ∵ ∠BDO−∠OEC=20° ， ∴ ∠BDO=100° ； 解： ∠P=180∘−α4 ， 理由如下： ∵ ∠BDC 和 ∠BEC 的平分线 DP 和 EP 相交于点 P ， ∴ ∠BDP=∠CDP ， ∠BEP=∠CEP ， 由（1）得 ∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P ①， ∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE ②， 由① - ②得 ∠DBE−∠P=∠P−∠DCE ， ∴ ∠P=12(∠DBE+∠DCE) ， 即 ∠P=14(∠ABC+∠ACB) ， ∴ ∠P=14(180°−∠A)=180°−α4

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