二次函数的实际应用-几何问题 知识点题库

（1） 当m=﹣1，n=4时，k=　　，b=　　；

当m=﹣2，n=3时，k=　　，b=　　；

（2） 根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；

（3）

利用（2）中的结论，解答下列问题：

如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．

①当m=﹣3，n＞3时，求  的值（用含n的代数式表示）；

②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为_____　；

当四边形AOED为正方形时，m=　 ， n=　 ．

（1） 探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？

（2） 应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．

（3） 拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y= （x﹣1）²+2的图象可以看作到定点A（，）的距离与它到定直线y=的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．

（4） 若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（1） 若四边形OABC为矩形，如图1，

①求点B的坐标；

②若BQ：BP=1：2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；

（2） 若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B₁E：B₁F=1：3，点B₁的横坐标为m，求点B₁的纵坐标，并直接写出m的取值范围．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3） 如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1） 求点D的坐标；

（2）

如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+ BM的值最小，求点M的坐标及PM+ BM的最小值；

（3） 抛物线的顶点为点E，平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A，E平移后的对应点分别为点A′、E′．在平面内有一动点F，当以点A′、E′、B、F为顶点的四边形为菱形时，求出点A′的坐标．

（1） 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

（2） 求△PBQ的面积的最大值.

（1） 分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标．

（2） 四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若不能，请说明理由．

（3） 当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么特殊三角形？请说明理由，并写出所有符合这一特殊性的点D的坐标．

（1） ①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2） 如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC²+BD²≤7时，求OE的取值范围；

（3） 如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ． 求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

① = ；② = ；③“十字形”ABCD的周长为12 ．

（1） 直接写出新抛物线的解析式为；

（2） 设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE⊥CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：

①求点E的坐标；

②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．

（1） 求这个二次函数的解析式；

（2） 点D是线段AC上的一点，联结BD，如果 ，求tan∠DBC的值；

（3） 如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标.

（1） ①当 为直角三角形时，求 的值.

②当 为等边三角形时，求此时“ ”的解析式.

（2） 若 点的横坐标分别为1，2，3，…… （ 为正整数）时，抛物线“ ”，分别记作“ ”，“ ”…“ ”，设其与 轴另一交点分别为 ， ， … ，过 ， ， ，…， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ， ，…， ．

①求 的坐标和 的坐标；（用含 的代数式表示）

②当 时，求 的值；

③是否存在这样的 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

（1） 求DE：CG的值；

（2） 设AE=x，S_△BEG=y，

①求y关于x的函数表达式及x的取值范围。

②当图中点E，M关于对角线BD成轴对称时，求y的值。

（1） 请直接写出 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式；

（2） 若点 是抛物线上的点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ． 与直线 交于点 ，当点 是线段 的三等分点时，求点 的坐标；

（3） 若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标．

（1） 求抛物线的表达式；

（2） 如图，直线 与抛物线交于A,D两点，与直线 于点E.若 是线段 上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线 于点G，交直线 于点H.

①当点F在直线 上方的抛物线上，且 时，求m的值；

②在平面内是否在点P，使四边形 为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（1） 求该抛物线的函数表达式；

（2） 点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求 面积的最大值；

（3） 将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ， 点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ， 使以点B ， C ， D ， E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．