题目

如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点． （1） 求该抛物线的解析式； （2） 在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由． （3） 如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得 {0=16a+4b4=4a+2b ，解得 {a=−1b=4所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x； 解：四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10； 解：在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+ 22 ，x2=2﹣ 22∴N点坐标为N1（2+ 22 ，﹣4），N2（2﹣ 22 ，﹣4）．

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