题目

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”． （1） ①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有； ②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”） （2） 如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围； （3） 如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ． 求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ① = ；② = ；③“十字形”ABCD的周长为12 ． 答案： 【1】菱形，正方形【2】不是 解：∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB， ∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB， ∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD， 过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD， ∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM= 12 AC，DN= 12 BD，四边形OMEN是矩形， ∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣ 14 （AC2+BD2）， ∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣ 74 ≤OE2≤2﹣ 32 ，∴ 14 ≤OE2≤ 12 ， ∴ 12 ≤OE≤22 （OE＞0） 解：由题意得，A（ −b−Δ2a ，0），B（0，c），C（ −b+Δ2a ，0），D（0，﹣ac）， ∵a＞0，c＜0， ∴OA= Δ+b2a ，OB=﹣c，OC= Δ−b2a ，OD=﹣ac，AC= Δa ，BD=﹣ac﹣c， ∴S= 12 AC•BD=﹣ 12 （ac+c）× Δa ，S1= 12 OA•OB=﹣ c(Δ+b)4a ，S2= 12 OC•OD=﹣ c(Δ−b)4 ， S3= 12 OA×OD=﹣ c(Δ+b)4 ，S4= 12 OB×OC=﹣ c(Δ−b)4a ， ∵ S = S1 + S2 ， S = S3 + S4 ， ∴ −c(Δ+b)4a + −c(Δ−b)2 = −c(Δ+b)2 + −c(Δ−b)4a ， ∴ 4a =2，∴a=1，∴S=﹣c Δ ，S1=﹣ c(Δ+b)4 ，S4=﹣ c(Δ−b)4 ， ∵ S=S1+S2 ，∴S=S1+S2+2 S1S2 ， ∴﹣c Δ =﹣ cΔ2 +2 c2⋅(−4c)16 ，∴﹣ cΔ2 =﹣c• −c ， ∴ b2−4c = −4c ，∴b=0， ∴A（﹣ c ，0），B（0，c），C（ −c ，0），d（0，﹣c）， ∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=12 10 ，∴AD=3 10 ，即：AD2=90， ∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9

查看本题答案和解析