题目

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ， C ， D ， E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：∵抛物线过 A(−3,−4) ， B(0,−1) ∴ {9−3b+c=−4c=−1 ∴ {b=4c=−1 ∴ y=x2+4x−1 解：设 yAB=kx+b ，将点 A(−3,−4) B(0,−1) 代入 yAB ∴ yAB=x−1 过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F 设点 P(a,a2+4a−1) ，则 F(a,a−1) 由铅垂定理可得 SΔPAB=12|PF|⋅|xB−xA| =32(a−1−a2−4a+1) =32(−a2−3a) =−32(a+32)2+278 ∴ △PAB 面积最大值为 278 解：抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得： {x＝−1y＝−4 ，故点C（−1，−4）；设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；联立②④并解得：s＝-3，t＝-4± 6 ，故点E（-3，-4＋ 6 ）或（-3，-4− 6 ）； ②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或 (−3，−4+6)，或 (−3，−4−6) 或（1，−3）． ∴存在， E1(−1，2)，E2(−3，−4+6)，E3(−3，−4−6),E4(1，−3)

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