题目

在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点． （1） 若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标； （2） 若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围． 答案： 解：∵OA=4，OC=2，∴点B的坐标为（4，2）；②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D，∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B1，∴B1Q：B1P=1：2，∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，∴∠PB1D=∠B1QA，∴△PB1D∽△B1QA，∴ PDAB1=PB1B1Q=2 ，∴B1A=1，∴OB1=3，即点B1（3，0） 解：∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，∴∠OAC=30°，∴点C（1， 3 ），∵B1E：B1F=1：3，∴点B1不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E：B1F=1：3，∴B1G=m，设OG=a，则GF= 33a ，OF= 233a ，∴CF= 2−233a ，∴EF= 4−433a ，B1E= 2−233a ，∴B1G=B1E+EF+FG= (2−233a)+(4−433a)+33a=m ，∴a= −35m+653 ，即B1的纵坐标为 −35m+653 ，m的取值范围是 177≤m≤1+1077 ；②当点B1在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E：B1F=1：3，∴B1G=m，设OG=a，则GF= 33a ，OF= 233a ，∴CF= 2−233a ，∴FE= 4−433a ，B1F= 34EF=3−3a ，∴B1G=B1F+FG= (3−3a)+33a=m ，∴a= −32m+323 ，即点B1的纵坐标为 −32m+323 ，故m的取值范围是 157≤m≤3

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